A Cesàro-Volterra formula with little regularity

If a symmetric matrix field e of order three satisfies the Saint-Venant compatibility conditions in a simply-connected domain Ω in R, there then exists a displacement field u of Ω with e as its associated linearized strain tensor, i.e., e = 1 2 (∇u + ∇u) in Ω. A classical result, due to Cesàro and Volterra, asserts that, if the field e is sufficiently smooth, the displacement u(x) at any point x ∈ Ω can be explicitly computed as a function of the matrix fields e and CURL e, by means of a path integral inside Ω with endpoint x. We assume here that the components of the field e are only in L(Ω) (as in the classical variational formulation of three-dimensional linearized elasticity), in which case the classical path integral formula of Cesàro and Volterra becomes meaningless. We then establish the existence of a “Cesàro-Volterra formula with little regularity”, which again provides an explicit solution u to the equation e = 1 2 (∇u + ∇u) in this case. We also show how the classical Cesàro-Volterra formula can be recovered from the formula with little regularity when the field e is smooth. Interestingly, our analysis also provides as a by-product a variational problem that satisfies all the assumptions of the Lax-Milgram lemma, and whose solution is precisely the unknown displacement field u. It is also shown how such results may be used in the mathematical analysis of “intrinsic” linearized elasticity, where the linearized strain tensor e (instead of the displacement vector u as is customary) is regarded as the primary unknown. Une formule de Cesàro-Volterra avec peu de régularité. Résumé. Si un champ e de matrices symétriques d’ordre trois vérifie les conditions de compatibilité de Saint-Venant dans un ouvert Ω simplement connexe de R, alors il existe un champ de déplacements u de Ω ayant e comme tenseur linéarisé des déformations associé, i.e., e = 1 2 (∇u + ∇u) dans Ω. Un résultat classique de Cesàro et Volterra affirme que, si le champ e est suffisamment régulier, le déplacement u(x) en chaque point x ∈ Ω peut être calculé explicitement en fonction des champs de matrices e et CURL e, au moyen d’une intégrale curviligne dans Ω ayant x comme extrémité. On suppose ici que les composantes du champ e sont seulement dans L(Ω) (comme dans la formulation variationnelle classique de l’élasticité linéarisée tri-dimensionnelle), auquel cas la formule classique de Cesàro-Volterra n’a plus de sens. On établit alors une “formule de Cesàro-Volterra avec peu de régularité”, qui donne à nouveau une solution explicite u de l’équation e = 1 2 (∇u + ∇u) dans ce cas. On montre aussi comment la formule classique de Cesàro-Volterra peut être retrouvée à partir de la formule “avec peu de régularité” lorsque le champ e est régulier. Il est intéressant de noter que l’un des corollaires de notre analyse est la formulation d’un problème variationnel qui vérifie toutes les hypothèses du lemme de Lax-Milgram, et dont la solution est précisément le champ u. On montre également comment de tels résultats peuvent être utilisés dans l’analyse mathématique de l’élasticité linéarisée “intrinsèque”, où le tenseur linéarisé des déformations e (au lieu du champ de déplacements comme il est usuel) est considéré comme étant l’inconnue principale. ha l-0 03 92 01 2, v er si on 1 5 Ju n 20 09 A CESÀRO-VOLTERRA FORMULA WITH LITTLE REGULARITY 1